Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 [147] 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169

Найдем спектр такого сигнала

if) = F [ F «1 (t) «2 (t-x) dx] e-i-dt.

-оо -оо

Изменив порядок интегрирования, получим f(/)= / «i(t)[ / U2{t-x)e-i-4t]dx=

= / «i(t)C/2(/)e-J»*dt=t/,(/)t/2(f).

(18.34)

Следовательно, спектр свертки двух сигналов равен произведению их спектров.

Вследствие взаимной обратимости частоты и времени спектр сигнала, равный произведению двух сигналов

u{t)=Ui{t)U2(t),

должен представлять собой свертку их спектров

f/(f) = f/,(f)*f/2(f)= f Ui{x)U2if-x)dx. (18.35)

-00

в качестве примера рассмотрим прохождение сигнала через фильтр с известной частотной характеристикой. Пусть сигнал на входе фильтра «i (/) имеет спектр Uif), тогда сигнал на выходе «2(0 имеет спектр t/2([) =Я ([) t/, (/), где Я (/)-передаточная функция фильтра.

Используя обратное преобразование Фурье, можно по выходному спектру найти выходной сигнал. Но передаточная функция Н{I) есть спектр сигнала, появляющегося на выходе фильтра при подаче на его вход дельта-функции 6(0- Следовательно, Н{1) есть спектр импульсной функции h{t).

Ввиду того что

/2(0 = /,(0Я(П,

имеем

U2[t)=U,{t)h{t),

(18.36) (18.37)

«2(0= / u,{x)h{t-x)dx.

(18.38)

Если входной сигнал равен нулю до момента / = 0, то напряжение на выходе физически реализуемого фильтра не может возникнуть раньше этого момента времени. Поэтому нижний предел интегрирования в (18.38) можно заменить нулем:

«2(0= / ui{x)h[t-x)dx.

(18.39)



Это выражение называется интегралом Дюамеля, записанным в импульсной форме. Физически оно означает, что входное напряжение представляется в виде суммы дельта-функций, соответствующих различным моментам времени, с амплитудами, равными мгновенным значениям сигнала в эти моменты, а выходное напряжение- в виде суммы откликов фильтра на эти дельта-функции.

Выражения (18.36) и (18.37) имеют большое значение, так как позволяют находить не только U2{t) по заданным Ui{t) и h{t), но и ft (О по заданным Ui{i) и «2(0-

Дифференцирование и интегрирование. Пусть uit) =du{{t)ldt, тогда

U2{t)=dui{t)ldt= А- 7 t/,(/)eJ<«*d/= J Ui[f)-ef-

dt Л

= / t/,(f)j(oe3<«*df,

- 00

откуда

t/2(f)=jo)t/i(/). (18.40)

Таким образом, дифференцирование сигнала эквивалентно умножению его спектра на величину jco. При дифференцировании подчеркиваются (увеличиваются) высокочастотные составляющие спектра.

Из равенства (18.40) имеем

i(/)= -t/2(/).

Следовательно, интегрирование сигнала эквивалентно делению его спектра на величину jco. Поэтому если сигнал

И2(0=/"1 {t)dt, то его спектр 1

t/2(f) = -t/,(f).

(18.41)

При интегрировании высокочастотные составляющие спектра ослабляются в большей степени, чем низкочастотные.

18.4. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР И СПЕКТР МОЩНОСТИ

Представление об энергетическом спектре связано с энергией Е, выделяющейся в сопротивлении 1 Ом, на котором действует напряжение сигнала u{t).

Энергия сигнала

(18.42)



Этот интеграл конечен, в частности, для сигналов, ограниченных во времени. Для сигналов, не обращающихся в нуль на бесконечности, интеграл расходится. Поэтому применительно к сигналам говорят не об энергии, а о мощности, равной энергии, рассеиваемой в единицу времени.

Используя прямое и обратное преобразования Фурье (18.13) и (18.14), энергию сигнала можно представить в следующем виде:

-оо -00

= / (/)[ / u{t)ei-t]df= fuif)Ui-f)df

- 00 -оо -оо

= Г\1{ПМ. (18.43)

Соотношение (18.43) называется равенством Парсеваля. Оно утверждает, что энергия, заключенная в сигнале u{t), равна сумме энергий всех составляющих его спектра. Равенство Парсеваля характеризует важное свойство сигналов. Если некоторая избирательная система пропускает только часть спектра сигнала, ослабляя другие его составляющие, то это означает, что часть энергии сигнала теряется. Например, приблизительно 90% энергии прямоугольного импульса длительностью т содержится в полосе частот от О до F= 1/т.

Подынтегральная величина в (18.43) называется энергетическим спектром сигнала конечной длительности:

Eif) = \U{f)\\ (18.44)

Ее значение в точке / равно энергии сигнала, приходящейся на полосу в 1 Гц вблизи частоты /. Равенство (18.43) можно переписать в виде

Е= fE{J)df. (18.45) ,

Следовательно, энергия сигнала есть результат интегрирования энергетического спектра сигнала по всему диапазону частот от - оо до оо. Иначе говоря, энергия равна площади, заключенной • между кривой, изображающей энергетический спектр сигнала, и осью абсцисс.

Соотношение, аналогичное (18.45), справедливо и для мощности сигнала Р:

J P{f)df=2j P(f)df, (18.46) I

где P(f)-спектр мощности.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 [147] 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169



0.0079