Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 [148] 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169

Мощность сигнала, не удовлетворяющего условию абсолютной интегрируемости, можно определить как

г тп

Р= Ит - / иЩ)й1.

T-*t» J -т/2

Интеграл под знаком предела представляет собой энергию Е-г отрезка сигнала длительностью Г, поэтому

Г-*оо Г

Используя (18.43), получаем Р= lim-

где t/r (f)-спектр отрезка сигнала длительностью Г. Переходя к пределу под знаком интеграла, получаем

Г-со

1г(/)

Сравнивая это выражение с (18.46), имеем Р,(/)= lim ~ \Ut{\)\\

(18.47)

В таком виде представление о спектре мощности можно использовать не только для детерминированных сигналов, но и для случайных сигналов и флуктуационных шумов. Спектр мощности P(f) сигнала u{t) равен мощности составляющих его колебаний в полосе шириной 1 Гц вблизи частоты f.

Для сигналов с линейчатым спектром спектр мощности отличен от нуля лишь на некоторых частотах, на которых он равен бесконечности. Такой спектр представляется с помощью набора дельта-функций. Например, для косинусоидального напряжения

и (/) = Um cos 2я/о (О = 0.5t/ COS 2я (-fo) / + -f0,5t/„cos InUi

мощность равна 0,5f/. Следовательно, спектр мощности

Р (f) = 0,25t/,l6 (f+fo) -Ь 0,25t/i6 (f-fo).

(18.48)

18.5. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ

Одним из валяных понятий, расширяющих представления о сигналах и их свойствах, является понятие корреляционной и взаимно корреляционной функций.



Корреляционная функция сигнала u{t) по определению равна гз{т)= / u{t)u{t-x)dt, (18.49)

где т - временной сдвиг.

При нулевом сдвиге (т = 0) имеем

гКО)= / ut)dt=E,

(18.50)

где Е - энергия сигнала. Следовательно, при нулевом временном сдвиге (т=0) корреляционная функция равна энергии сигнала. Отметим основные свойства корреляционной функции.

1. При т=0 корреляционная функция положительна и имеет наибольшее значение. При некоторых других значениях т функция может иметь наибольшее значение, но не может его превышать:

(0)г;(т). (18.51)

2. Корреляционная функция является четной функцией сдвига т:

г;(-т)=5(т). (18.52)

Поэтому знак минус перед т в выражении (18.49) можно изменить на плюс, записав

г;(т)= / u{t)u{t + x)dt.

(18.53)

На рис. 18.8 показаны прямоугольный импульс и его корреляционная функция. Корреляционная функция не дает представления о времени прихода сигнала.

Энергия периодического сигнала равна бесконечности, поэтому его энергетические свойства характеризуются мощностью, т. е. отношением энергии за некоторый промежуток времени к длительности этого промежутка. Аналогично определяется корреляционная функция периодического сигнала:

I т/2 \ 1 т/2

г;п.р(т)= / u(tuit-x)dtYJu{t)u(t + x)dt, (18.54)

где Т - период функции u(t).


aj 0)

Рис. 18.8. Прямоугольный импульс (о) и его корреляционная функция (б) 448





Рис. 18.9. Гармоническое колебание (о) и его корреляционная функция (б)

Пример. Найдем корреляционную функцию гармонического колебания

U(t)=UmCOS{(i>t+(po)

Т -f/2

со5((й+Фо)соз((й-1-фо-1-(йт)й=0,5£/ cos шт.

(18.55)

Как и следовало ожидать, корреляционная функция гармонического колебания, имеющая размерность мощности, не зависит от начальной фазы фо. Корреляционные функции синусоиды и косинусоиды одинаковы, поэтому на рис. 18.9 корреляционная функция не зависит от начальной фазы гармонического колебания.

Важную роль играет связь между энергетическим спектром £(/) и корреляционной функцией ij(t).

Подставляя в (18.53) сигнал u{t + x) в виде обратного преобразования Фурье, получаем

я1,(т) 7 u{t){ 7 f/(f)e№)rff] =

- оо -00

со оо оо

= / f/(/)e5»[ / u{i)&<tdt]df== f U{f)&U{-f)df.

~oa -00 -00

Согласно (18.44) поэтому

г;(т)= f Eineiodf. (18.56)

Следовательно, корреляционная функция ijj(t) является обратным преобразованием Фурье от энергетического спектра E{f). Прямое преобразование Фурье от корреляционной функции

(f)= / i5(T)e-J»d.

:(18.57)

Выражения (18.56) и (18.57), устанавливающие связь между корреляционной функцией сигнала и его энергетическим спектром, называются соотношениями Винера - Хинчина.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 [148] 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169



0.0055