Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 [150] 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169

Для определения максимального значения амплитуды выходного напряжения Утвых необходимо найти значение z, при котором с1Ф/с1г = 0.

Дифференцируя Ф (z, х) по г и решая относительно z уравнение

sin 2 3in{Z-X)

= 0,

находим z-x/2.

Подставляя это значение в (18.64), получаем

т. вых max- -KoUmSi---KoUmSi

Я , 2 Я 4

При малом х/2 можно считать, что Si x/2«x/2.

(18.65)

(18.66)

Следовательно, при очень узкой полосе пропускания идеального фильтра амплитуда высокочастотного напряжения на его выходе пропорциональна его полосе пропускания.

18.7. ТЕОРЕМА КОТЕЛЬНИКОВА

Функция времени с резко ограниченным спектром полностью определяется своими значениями (отсчетами), взятыми через интервал времени А/=1/2/гр:

«(0= .S u(kAt) ~; -~шГ

k=~oo

(18.67)

где Юзр = 2я/эр -граничная частота спектра передаваемой функции.

Доказательство теоремы. Пусть непрерывная функция времени u{t) имеет спектр, ограниченный частотой fsp.

Используя обратное преобразование Фурье, представим эту функцию в виде

(18.68)

Спектр и(f) продолжим периодически на всю ось частот с периодом 2/гр- Тогда для частоты f, лежащей в пределах от -fp до р, функцию U{f) можно представить в виде ряда Фурье:

причем

2fa„

и if) eH2nfe 2/p df = M /" и (f) e-J2nftA</tf/.



Используя (18.68), убеждаемся, что поэтому

Подставляя это соотношение в (18.68), получаем

u{t)=AtJ

22 u{kAt)e-it>

k=-<x>

Изменяя порядок выполнения операций интегрирования и суммирования, имеем

откуда и следует (18.67).

Формула Котельникова дает точную сумму для любой функции u{t), если в ее спектре нет составляющих с частотами выше \гр-

Физическая интерпретация теоремы Котельникова. Покажем, что в соответствии с теоремой Котельникова непрерывную функцию времени u(t), спектр которой ограничен частотой /гр, можно представить в виде суммы единичных импульсов (дельта-функций), соответствующих моментам времени kAt и умноженных на значения функции u(t) в эти моменты и пропущенных через идеальный фильтр нижних частот с граничной частотой /гр.

Согласно (18.32) отклик идеального фильтра нижних частот

С точностью до постоянного множителя 2/гр функция sinospX X(t-tQ)/(i)ep (i-to) является реакцией фильтра нижних частот на единичный импульс 8{t-to).

Представим себе, что сигнал «i (t) передается в виде последовательности прямоугольных импульсов длительностью т с интервалом между импульсами А/=1/2/гр, причем площадь каждого импульса равна Ui{kAt)r (рис. 18.13).


Рис, 18.13. Представление непрерывного сигнала прямоугольными импульсами



При прохождении этой последовательности через идеальный фильтр нижних частот напряжение на выходе от k-ro импульса

Напряжение на выходе от всех импульсов

sin iusp(t-kM) .

"2(0= 11 x2hpUi{kM)X

fe=-(X>

Сравнивая данное выражение с формулой Котельникова, видим, что напряжение на выходе фильтра нижних частот U2{t) отличается от первоначального напряжения Ui{t) лишь постоянным множителем т2/гр. Следовательно,

«,()= J„„2(0=-«2(0.

Отсюда делаем заключение, что первоначальный сигнал u{t), передаваемый в виде указанной последовательности прямоугольных импульсов, можно восстановить на приемном конце линии связи, пропуская эту последовательность через фильтр нижних частот с граничной частотой и усиливая в /С=А/т= 1/2/зрТ раз.

Такая схема передачи показана рис. 18.14. Реальные сигналы не имеют строго ограниченного частотного спектра и, следовательно, могут быть переданы по такой линии связи лишь с известной погрешностью.

Практические ограничения и их преодоление. Теорема Котельникова предполагает ограниченность спектра частотой fp. При восстановлении сигнала по отсчетам предполагалось применение идеального фильтра, имеющего строго ограниченную полосу пропускания.

На практике не существует сигналов с ограниченным спектром, так как все сигналы, ограниченные во времени, имеют бесконечную ширину спектра. Не существует также идеальных фильтров, имеющих строго ограниченную полосу пропускания.

Рассмотрим влияние этих практических ограничений и способы уменьшения их влияния. Для этого рассмотрим, как изменяется функция u{t}, когда берутся ее отсчеты.

В результате взятия отсчетов получаем из функции u{t) новую функцию.

Us{t)u{t)s{t),

(18.69)

Фильтр нитни* яасггют

(Рияьтр нитниж частот

Усилитель к-At ft

Рис. 18.14. Схема получения импульсных отсчетов сигнала и восстановления непрерывного сигнала по его отсчетам



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 [150] 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169



0.0016