Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 [158] 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169

в этой теории показывается, что согласованный фильтр является составной частью практически всех оптимальных приемников, когда форма сигнала известна. В частности, для рассмотренного выше примера оптимальный в смысле минимума вероятности пропуска сигнала приемник состоит из согласованного фильтра и порогового устройства, если точно известны огибающая принимаемого импульса и фаза радиочастотного заполнения. Если последняя неизвестна, то между согласованным фильтром и пороговым устройством помещается еще детектор огибающей.

Во многих случаях основную фильтрацию осуществляют усилители промежуточной частоты. Следовательно, вопрос об оптимальном фильтре есть вопрос об оптимальных амплитудно- и фазоча-стотных характеристиках усилителя промежуточной частоты [42-47].

Найдем передаточную характеристику согласованного фильтра, когда сигнал принимается на фоне белого шума, т. е. шума, имеющего постоянную спектральную мощность No во всем диапазоне частот.

Предварительно необходимо выбрать момент to, в который пиковая мощность сигнала на выходе фильтра должна быть максимальна. Если длительность сигнала конечна, а сам сигнал начинается в момент / = 0, то в качестве выбирают момент окончания сигнала, чтобы при фильтрации использовать весь сигнал. Если сигнал имеет бесконечную длительность, то момент to оказывается также бесконечным, а соответствующий согласованный фильтр - физически нереализуемым. В дальнейшем рассматривается только сигнал конечной длительности.

Отношение пиковой мощности сигнала в момент to к средней мощности шума (отношение сигнал-шум по мощности) на выходе фильтра с передаточной характеристикой Я(/) равно

JU(nH{nexp{]ato)df\

J\H(!)\4f

(20.1)

где «([о)-напряжение сигнала на выходе усилителя промежуточной частоты в момент to, ы(о) 1 -пиковая мощность на сопротивлении 1 Ом; Рш - средняя мощность шума на сопротивлении 1 Ом на выходе фильтра; t/(/)-спектр сигнала на входе фильтра.

Введем функцию

К{П=Н{П/

Тогда равенство (20.1) можно переписать в виде i-l 7 f/,(/)exp,(jo)M/(/)/P.

(20.2)

(20.3)



Необходимо максимизировать правую часть (20.3) выбором функции K(f). Для решения этой задачи используем неравенство Бу; няковского - Коши - Шварца

I 7 f/(/)exp(jWo)/(/)/P< f \и(ПХ

-00 -оо

Хехр (jo)/o)2rf/ f\K{f)\4f. (20.4)

- 00

Знак равенства в (20.4), что соответствует максимуму правой части (20.3), достигается тогда и только тогда, когда

/((/)= с[/*(/)ехр (-jcoo), (20.5)

где с - некоторая константа.

Учитывая (20.2), получаем окончательно

Я(Г)=Со1/*(/)ехр (-jo)M. (20.6)

где Со - произвольная константа.

Подставляя выражение для характеристики согласованного фильтра (20.6) в (20.1), находим пиковое отношение сигнал-шум на его выходе

1«<«1""=А JlU(l)M=f- (20.7)

Здесь Е - энергия сигнала.

Согласованный фильтр обеспечивает максимум отношения пиковой мощности сигнала к средней мощности шума, причем из (20.7) видно, что это отношение зависит от энергии сигнала Е и спектральной плотности мощности шума No и не зависит от формы сигнала.

Выше была получена передаточная характеристика согласованного фильтра Я(/). Зная передаточную характеристику, можно найти также импульсную характеристику этого фильтра. Для этого достаточно найти преобразование Фурье передаточной характеристики (20.6). В результате получим следующее выражение для импульсной характеристики:

hit)=Cou{to-t), (20.8)

где Со, как и в выражении (20.6),-произвольная константа.

Таким образом, импульсная характеристика согласованного фильтра совпадает по форме с принимаемым сигналом u{t), зеркально обращенным по времени относительно момента t = to. На рис. 20.2 показаны для примера сигнал u{t) и импульсная характеристика согласованного фильтра h{t).

Как уже отмечалось, согласованные фильтры являются составной частью оптимальных по тому или иному критерию приемников. На рис. 20.3 приведена структурная схема оптимального приемника для случая, когда ставится задача обнаружения сигна-



h(t); u(i)


фиЛьтр

Дemefmop

Устройство сравнений с аороеом

Рис. 20.2. Сигнал иЦ) (-и импульсная характеристика

(О (----) фильтра, со-

гласоваккого с сигналом

Рис. 20.3. Структурная схема приемника с согласованным фильтром

ла, форма которого известна с точностью до фазы радиочастотного заполнения (т. е. фаза неизвестна). Приемник состоит из согласованного фильтра, детектора огибающей и устройства сравнения с порогом, которое в момент времени сравнивает напряжение на выходе детектора с пороговым напряжением.

Практически ситуация, когда временное положение и форма сигнала известны и нужно лишь определить факт наличия сигнала, встречается редко. Чаще приходится решать комбинированные задачи, когда неизвестно временное положение сигнала (иногда и его форма), а требуется определить факт наличия сигнала и его положение на временной оси. Однако и в этом случае согласованный фильтр может быть составной частью приемника.

Чтобы убедиться в этом, изучим более детально напряжение на выходе согласованного фильтра. Известно, что при подаче напряжения u{t) на вход линейной системы с импульсной характеристикой h{t) напряжение на ее выходе

Мвыж(0= / u{)h{t-x)dx.

Если эта система является согласованным фильтром, то ее импульсная характеристика

МО =«(0-0.

откуда следует, что

/i:(/-T)=a(fo-+T). Поэтому напряжение на выходе согласованного фильтра

(20.9)

где -{t - to)-корреляционная функция сигнала.

Таким образом, выходное напряжение согласованного фильтра совпадает по форме с корреляционной функцией сигнала «(/), смещенной по оси времени на /о-



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 [158] 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169



0.007