Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 [18] 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169

3.3. линия с ПОТЕРЯМИ. ТЕЛЕГРАФНОЕ УРАВНЕНИЕ

Пусть отрезок двухпроводной линии единичной длины кроме индуктивности L и емкости С, имеет также сопротивление R и утечку G. Тогда для отрезка линии dx (рис. 3.4) приращение напряжения

du=-{Ldx) ~ -{Rdx)i,

а приращение тока

di=-{Cdx) -2-(Gdx)u

дх di

di dt ди

-Ri; -Gu.

dx dt

Дифференцируя (3.20) no д: и (3.21) по получаем:

- -L

di .

dtdx

дЧ dxdt

ди dt •

(3.20) (3.21)

(3.22) (3.23)

Подставив (3.23) и (3.21) в (3.22), получим из двух уравнений первого порядка одно уравнение второго порядка, называемое телеграфным уравнением:

+ (GL + RC).-+RGu.

. . . , . - (3.24)

дх dt dt .

Телеграфное уравнение упрощается, если для его коэффициентов выполняется условие Хевисайда

RILGjC, (3.25)

из которого следует, что RIGLICZl RCGL.

(3.26) (3.27)


cat Gcfx

Рис, 3.4. Элемент линии с потерями



Подставив (3.27) в (3.24), получим ?!£=LC+2PC-+№.

Поделив на LC, придем к следующему уравнению:

дх dt L dt LC

Введя обозначение R/L = q, получим

дЧ ди

(3.28)

Введем новую переменную «о. положив « = «оехр( - (70- Найдем производные:

ди дх ди dt

= е-9< дх

дх dx

=q4-<ituo-2q&-4t -f e-9 dt dt

Подставив эти производные в (3.28), получим

duo I duo

dx"

(3.29)

Следовательно, при выполнении условия Хевисайда телеграфное уравнение приводится к волновому уравнению. Это означает, что как и в линии без потерь, волна любой формы может распространяться без искажений. Отличие решения заключается лишь в том, что падающая и отраженная волны в линии с потерями затухают, так как и и мо связаны множителем е-з*.

3.4. СТАЦИОНАРНЫЙ ПРОЦЕСС В ЛИНИИ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗБУЖДЕНИИ

Пусть имеется линия длиной /, к которой подключен генератор синусоидального напряжения (рис. 3.5). Приращение напряжения

dV = lZdx,

где Z = /?-fj(j)L - комплексное сопротивление линии на единицу длины. Приращение dV положительно, так как в данном случае х отсчитывается от конца линии.

3--о

1 t "

U*dU

Рис. 3.5. Линия, подключенная к источнику синусоидального напряжения



приращение тока dI=UYdx,

где F=G + ju)C-комплексная проводимость линии на единицу длины.

Следует отметить, что У не является обратной величиной Z; в данном случае эти величины являются независимыми, характеристиками.

Поделив приращение на dx, получим уравнение в комплексной форме:

dU/dxlZ; (3.30)

dl/dxUY. (3.31)

Здесь комплексные напряжение U и ток / не зависят от t. Дифференцируя (3.30) по х, получаем

dWIdxZdlldx.

Подставляя сюда (3.31), находим, что

dW/dxZYU. (3.32)

Дифференцируя (3.31) по х, получаем d4ldx=YdUldx.

Подставляя сюда (3.30), находим

d4/dx=ZY/. (3.33)

Видим, что уравнения (3.32) и (3.33) для тока и напряжения одинаковы по форме.

Общее решение уравнения (3.32)

C/=A,ev + A2ev (3.34)

где Y - коэффициент, называемый постоянной распространения, является решением характеристического уравнения y=ZY. Согласно уравнению (3.30)

Z dx Следовательно,

Z z

Величину

Z/Y = Z/yzy = yz/F=Zo

называют волновым сопротивлением линии. Волновое сопротивление

Zo=]Z/y=y(/?4-j(oL)/(G+j(oC) (З.Зб)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 [18] 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169



0.0089