Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 [81] 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169

Поскольку знаменатель передаточной функции является полиномом второго порядка относительно аргумента s, фильтр называется фильтром второго порядка.

В общем случае передаточную функцию фильтра нижних частот га-го порядка можно представить в следующем виде;

Я(5)= --. (10.59)

В зависимости от вида полинома в знаменателе (10.59) различают фильтры Баттерворта, Бесселя, Чебышева и др.

Фильтр Баттерворта имеет максимально плоскую амплитудно-частотную характеристику, которая достаточно хорошо аппроксимируется следующим выражением:

Я((о/(Оо) I = 1/yi + (сй/©о)2", (10.60)

где (Оо= l/i?C -частота среза фильтра, на которой при любом порядке фильтра га затухание равно 3 дБ (уровень 0,7).

Фильтр Баттерворта обеспечивает при большом га равномерное усиление по амплитуде всех частот в полосе пропускания, за исключением частот, близких к частоте среза. Его недостатками являются нелинейность фазочастотной характеристики в полосе пропускания и невысокое затухание за пределами полосы.

Фильтр Бесселя имеет максимально линейную фазочастотную характеристику, но его затухание за пределами полосы еще меньше, чем у фильтра Баттерворта.

Фильтр Чебышева в зависимости от его порядка имеет несколько максимумов и.минимумов амплитудно-частотной характеристики в пределах полосы пропускания. Он проектируется таким образом, чтобы неравномерность передачи в пределах полосы не превышала некоторого уровня. Обычно берется неравномерность, равная 1 дБ, что меньше неравномерности передачи частот вблизи граничной частоты фильтра Баттерворта, равной 3 дБ.

Достоинством фильтра Чебышева является значительно лучшая фильтрация за пределами полосы, чем у фильтров Баттерворта и Бесселя. Это позволяет обходиться меньшим числом звеньев при заданном затухании за пределами полосы пропускания.

Недостатком фильтра Чебышева является большая, чем у фильтров Бесселя и Баттерворта, нелинейность фазочастотной характеристики.

Фильтр нижних частот любого порядка можно построить из фильтров, показанных на рис. 10.30. Например, фильтр четвертого порядка можно построить из двух последовательно включенных фильтров второго порядка, а фильтр третьего порядка - из фильтра первого и второго порядков.

В табл. 10.2 приведены нормированные коэффициенты для фильтра Баттерворта [Ю], а в табл. 10.3 - для фильтра Чебыше ва, имеющего неравномерность в полосе пропускания 1 дБ.

Нормированность означает, что (оо=1. Поэтому при «0=71 следует заменить s на s/mq.



Полиномы знаменателя

«

Полиномы знаменателя

(S+1)

(0,509s+l)

(s2+l,4I4s+l)

(S+1)(S2 + S+1)

(0,907s2+0,996s+l)

(s40,765s +1) (s2+1,848s+1)

(s+l)(s2+0,618s+l)X

(2,035s + l)(s+0,446s + l)

X(s+l,618s+l)

Пример. Требуется рассчитать фильтр нижних частот Баттерворта пятого порядка с частотой среза fo - 3 кГц. Из табл. 10.2 видим, что такой фильтр можно составить из одного звена первого порядка и двух звеньев второго порядка.

Произведение RC=l/ao, где u)o=2nfo=6,28-3-10= 1,884-10*. Пусть для фильтра имеются конденсаторы емкостью С=0,01 мкФ с допуском ±5%. Тогда i?=l/u)oC= 1/1,88410-«=5,3 кОм.

Для второго звена фильтра приравниваем множитель второго члена знаменателя выражения (10.58) множителю второго члена при s во вторых скобках пятой строки табл. 10.2. При этом имеем 3-К . , =0,618, откуда =

= 3-0,618 = 2,382, Коэффициент передачи неинвертирующего каскада /(2 =

= 1+/?сс ?1, откуда RcelRi-= 1,382.

Для симметрии входных цепей усилителя по постоянному току, чтобы начальные токи входных транзисторов не вызывали смещения нуля,. необходимо выполнить условие

2R = Ri\\Rce= RlRce/(Rl + Rce) =Rcef(\+Rce/Rl)

/?ов = 2/?(И-/?св ?,) = 10,6(1-1-1,382) =25,3 кОм; /?1 = /?.в/0,382 = 38 кОм.

Аналогично для третьего звена фильтра приравниваем множитель второго члена знаменателя выражения (10.58) к множителю второго члена при s в третьих скобках пятой строки табл. 10.2. При этом имеем 3-/Сз= 1,618, откуда /(з = 1,382.

Коэффициент передачи неинвентирующего каскада Кз - 1+Rce/Ri, откуда /?«/«1 = 0,382.

Аналогично для симметрии входных цепей третьего звена фильтра: /?oe = 2/?(H-/ce ?i) = 10,6(1-f0,382) = 14,6 кОм; Д, = «с»/0,382=38 кОм.

Коэффициент усиления второго и третьего звеньев фильтра К2 К} = = 2,382-1,382=3,3.

Коэффициент усиления фильтра первого порядка можно изменять в широких пределах частот для желательного уровня усиления. Например, если желательно иметь общий коэффициент усиления трехзвенного фильтра равным 100, то усиление первого фильтра /С, =100/3,3 = 30. Убеждаемся, что при данном уровне усиления 30 («30 дБ) полоса пропускания операционного усилителя достаточна. Для этого на логарифмической амплитудно-частотной характеристике проводим горизонтальную линию в соответствии с требуемым усилением. Например, проводим такую линию на рис. 10.29 и убеждаемся, что полоса пропускания при этом более чем достаточна.



Г50к

о-£ ± X

0,01


Рис. 10.31. Активный ?C-фильтp нижних частот пятого порядка

Для /Cj=30 в первом звене /?ce/?i=30-1=29. Аналогично находим: Rm- = (l+?c<,/?i)=5(l+29) = 150 кОм; Л] =?cв/29= 150/29»5,5 кОм. Схема фильтра показана на рис. 10.Э1. Если иа схеме все резисторы i? = 5,3 кОм и конденсаторы С=0,01 мкФ поменять местами, то фильтр превращается в фильтр верхних частот с той же частотой среза fo=3 кГц. Однако при этом во втором и третьем звеньях нарущится баланс по постоянному току. Хотя из-за малого усиления второго и третьего звеньев смещение нуля небольшое, балансировку можно восстановить, уменьшив вдвое верхние сопротивления второго и третьего звеньев.

Полосовой фильтр осуществляют последовательным включением фильтров нижних и верхних частот. При этом частота среза фильтра нижних частот выше частоты среза верхних частот и лишь в частном случае эти частоты могут быть взяты равными.

Режекторный фильтр получается не при каскадном, а при параллельном включении входов и выходов фильтров нижних и верхних частот. При этом получается суммирование их полос пропускания.

Возвратимся к рассмотрению передаточной характеристики фильтра, схема которого приведена на рис. 10.30,6. Передаточная функция (10.58) имеет полюсы, которые можно найти из уравнения

s2 + 2as + (uo = 0, (10.61)

где (oo=l/Ci?; а=(3-/()/2.

Нетрудно заметить, что (10.61) совпадает с соответствующим выражением для колебательного контура. Как и для колебательного контура, полюсы

Pi,2= - а±Уа-cog.

Для фильтров Баттерворта множитель при s во вторых и третьих скобках коэффициентов в табл. 10.2 равен 2а при й)о=1. Этот множитель всегда меньше 2(а<1), поэтому полюсы комплексные и лежат в левой плоскости. Расположение полюсов для фильтра пятого порядка показано на рис. 10.32, а. Они расположены по дуге полуокружности на плоскости комплексной частоты s.

На рис. 10.32,6 показано расположение полюсов фильтра Чебышева при «=3. Они располагаются на эллипсе.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 [81] 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169



0.0076